La vida de PI

El número π es uno de los más importantes en las matemáticas. Este número infinito y muy misterioso e intrigante (3,14159...) está muy presente en la naturaleza. Ya predijo Carl Sagan que π "es un número que esconde la esencia misma del universo".

π se obtiene al dividir la longitud de cualquier circunferencia entre su diámetro. La razón entre el diámetro y la longitud siempre es la misma (comprobadlo en casa con una cuerda).

Esta propiedad universal, la conocemos desde hace bastantes siglos, concretamente ya en el antiguo Egipto. No obstante, nosotros nos centraremos en dos famosos documentos, el papiro de Moscú y el papiro Rhind, en los que queda demostrada la aproximación del número π.

Pero fue el gran Arquímedes el primero que realizó una estimación sobre su valor. Para ello se sirvió de una serie de polígonos circunscritos e inscritos. (ver imagen de abajo).

Algunos ejemplos que usó Arquímedes

La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego "periferia" y "perímetro" de un círculo. Fue popularizada por el gran matemático Leonhard Euler, quién la incluyó en su obra titulada Introducción al cálculo infinitesimal, en el año 1748.

Un poco más tarde, en torno al año 1770, Lambert demostró que π es irracional, es decir, que tenía infinitas cifras decimales. ¿Sabías que en la actualidad un ordenador ha sido capaz de estimar que tiene 13 billones de decimales?

Recuerda: nunca digas que π es igual a 3,14 o 3,14159. π es ¡infinito! Por lo que debemos de decir que π nunca morirá, sino que será eterno por los siglos de los siglos.

 

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Y si lo resolvemos con...Geogebra

El otro día tuvimos una sesión de informática con el software matemático Geogebra, muy útil para representar figuras geométricas y jugar con ellas todo lo que nos apetezca. ¡Es sin duda un programa muy divertido y entretenido! 

Podéis acceder a la descarga del programa en el siguiente enlace: CLICK AQUÍ

Es necesario completar la descarga para realizar las actividades que se propondrán después.

Como paso previo a realizar los ejercicios, aquí os dejamos un tutorial para aquellos que nunca hayan utilizado el programa.

Os proponemos, a continuación, una serie de actividades para iniciaros en Geogebra:

1. Dibuja los siguientes objetos: recta, segmento, punto, vector, triángulo, polígono regular y circunferencia.
2. Cambiar algunos parámetros de los objetos anteriores (color, grosor, estilo...)
3. Construye los siguientes objetos: punto medio de dos puntos dados, recta paralela a otra por un punto dado, perpendicular a una recta dada por un punto dado, mediatriz a un segmento dado y bisectriz a un ángulo dado.
4.  Dibujar un triángulo a partir de otro mediante una simetría de eje una recta seguida de una traslación por un vector.
5. Dibuja las mediatrices, medianas, alturas y bisectrices de un triángulo y halla el circuncentro, el baricentro, el incentro y el ortocentro.
6. Calcula la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita del triángulo.
7. Señala la recta de Euler del dibujo.

¿Qué os ha parecido? A qué es genial y muy divertido, nosotros estamos enganchados practicando con él, así que a que esperáis, id a enseñárselo a vuestros compañeros y familiares. ¡Os encantará!

Valoración personal:

Empezar con el manejo de un programa interactivo como lo es Geogebra, me ha resultado de gran ayuda para mi formación durante el máster. Gracia a nuestra profesora Vanesa, en esta sesión hemos adquirido una nueva forma de plantear una clase correspondiente a la parte de geometría, de un modo más interactivo y innovador. Sin duda, me será de gran utilidad en el futuro, en el que fomentaré en clase el uso de este tipo de herramientas tecnológicas, que por otra parte, llaman mucho la atención de los alumnos de hoy en día, dado que están muy familiarizados con la alta tecnología.

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Matemáticas, Literatura y Cine

Las matemáticas están muy presentes en la vida cotidiana, y materias como la literatura, o aspectos de gran importancia en nuestra cultura, como el cine, se alimentan de ella. En primer lugar, podemos citar algunas obras literarias con relación con las matemáticas.

Planilandia, Edwin A. Abbott (1884)

Planilandia, hace literatura a partir de situaciones y objetos matemáticos. Es una novela con matemáticas en su desarrollo.

 Historia de un Matemático. Ulamm S.M. (2002) Nívola.

 Aventuras de un Matemático, es un ejemplo de ensayo narrativo.

Si os interesan mucho obras literarias que incluyan matemáticas en su contenido, recomendamos especialmente "Un cuento enmarañado," escrito por el autor Lewis Carroll.

El cine utiliza las matemáticas de muchas formas, ya sea mediante la producción de películas con desarrollo matemático, referencias a conceptos matemáticos, o matemáticos como protagonistas de las películas. (ver entrada previa sobre la película "La habitación de Fermat".

En relación con el concepto matemático de simetría, una película que pone de manifiesto dicho concepto es "El niño con el pijama de rayas". En la siguiente imagen podéis observar la "simetría" existente entre los protagonistas de la película:

Enlace al Tráiler

En numerosas series televisivas, como por ejemplo la popular serie de "Los Simpson", se realizan guiños matemáticos. ¡Quién no conoce la famosa frase de Bart de Multiplicate por 0!

Hasta aquí una nueva entrada chic@s. No olvidéis comentar todo lo que queráis. Nos vemos en la próxima con más y mejor.

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La multiplicación y su historia

La multiplicación es una de las primeras operaciones que aprendemos en la escuela. Actualmente, utilizamos el modo "tradicional", que data del siglo XVI, y fue introducida por el matemático Luca Paccioli.

Como curiosidad matemática, os habréis dado cuenta de que todas las tarjetas que usamos a diario (carnet de identidad, tarjeta bancaria, carnet de conducir...) tienen forma rectangular. Este hecho se debe a lo que conocemos por el Rectángulo de Oro o Rectángulo Áureo, a partir del cuál se obtuvo el famoso número áureo (ver imagen de abajo). 

Obtención del número áureo

¿Cómo se multiplicaba en la época de los zares de Rusia? Con un sencillo ejemplo, lo entenderemos.

 Escogemos dos números, por ejemplo el 17 y el 42 y formamos una secuencia (de modo que en la columna de la izquierda calcularemos el doble de cada número, mientras que en la derecha haremos la mitad). En caso de salir un número decimal, nos quedamos con la parte entera.

17 | 42 ; 34 | 21 ; 68 | 10 ; 136 | 5 ; 272 | 2 ; 544 | 1

A continuación, escogemos los números impares de la parte derecha y vamos a sumar su correspondiente en la parte izquierda, y así obtenemos el resultado de la multiplicación 17 · 42.

34 + 136 + 544 = 714, luego 17 · 42 = 714.

¿Cómo lo hacían los egipcios? En la época egipcia, hace ya unos 5000 años de aquello, multiplicaban de una forma particular. Al igual que antes, lo ilustraremos con un ejemplo sencillo.               

Escogiendo los mismos números de antes, formamos una secuencia, pero esta vez calcularemos el doble de cada número en las dos columnas y pararemos antes de llegar a 42 en la columna de la derecha.

17 | 1 ; 34 | 2 ; 68 | 4 ; 136 | 8 ; 272 | 16 ; 544 | 32

de modo que sumando 32 + 8 + 2 = 42, por lo que sumamos los números de la parte izquierda asociados a estos tres, y así obtenemos el resultado de la multiplicación 17 · 42.

34 + 136 + 544 = 714, luego 17 · 42 = 714.

¿Y cómo lo resolvían en la época isabelina inglesa (año 1600 aproximadamente)? En la imagen de abajo tenéis un ejemplo en el que se calcula la multiplicación 537 · 24 

Para realizar dicha operación, los ingleses sumaban las 4 diagonales que aparecen en el dibujo y así se obtenía:

8 ; 2 + 2 + 4 = 8 ; 1 + 6 + 1 + 0 = 8 ; 0 + 0 + 2 = 2 ; 1

por lo que el resultado de la multiplicación (ver números en negrita) es:

537 · 24 = 12888

¿Qué os ha parecido? ¿Conocéis otras formas de multiplicar empleadas a lo largo de la historia? No dudéis en escribirlas en los comentarios.

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Grupos de Simetrías

En esta nueva entrada, os presentaremos dos grupos de simetrías, el primero de ellos conocido bajo el nombre de grupo de simetrías de los frisos, y el segundo se llama grupo de simetrías del plano.

Grupo de simetría de los frisos:

Las decorativas bandas horizontales que a veces pueden verse en paredes y muros se conocen como frisos. Muchos de estos diseños tienen interesantes propiedades geométricas, como simetría vertical u horizontal, simetría traslacional o rotacional. De acuerdo a las simetrías que presenten, los matemáticos han clasificado los distintos tipos de patrones de los frisos en siete categorías, que podéis consultar en el enlace de arriba.

Os presentamos un par de ejemplos asociados a este grupo particular:

Ejemplo 1

      

Ejemplo 2

Para practicar con este peculiar grupo, proponemos la siguiente actividad a realizar en clase:

• Utilizando tijeras y papel, construir un friso a partir de los siguientes pasos:

1. Toma una tira de papel de la longitud y anchura que mas te convenga, doblala por la mitad dos veces, (puedes hacerlo más veces si quieres).
2.  A continuación con una tijera, realiza cortes como quieras en los laterales, despliega el papel y obtendrás un precioso friso como el de imagen de abajo.

.

Grupos de simetría del plano (mosaicos):

Un mosaico es, matemáticamente hablando, el recubrimiento del plano mediante figuras, de tal forma que no se solapen ni queden huecos entre ellas. Existen muchas formas de obtener un mosaico. Los más sencillos están formados por polígonos regulares del mismo tipo (por ejemplo, un cuadrado o un hexágono regular), pero también se pueden formar mosaicos combinando varios tipos de polígonos.

Como en el grupo anterior, os mostramos un par de ejemplos de mosaicos:

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Cómo curiosidad matemática, fijaos que ese tipo de grupos de simetrías están muy presentes en las casas de las personas, en las fachadas, o en las terrazas. Opinad en los comentarios todo lo que queráis y aportar sugerencias si así lo deseáis.

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Juegos Matemáticos

El pasado jueves tuvimos una charla con el profesor Juan Nuñez Valdés, del departamento de Geometría y Topología, de la facultad de Matemáticas, en la Universidad de Sevilla. En dicha charla, nos presentó unos juegos matemáticos que se corresponden con el nivel de la ESO. Vamos a proceder a desarrollar alguno para vosotros.

Primer juego matemático:

1. Elegir  tres números a,b,c siendo a > c 
2. Formamos el número abc y le restamos su inverso (cba). Apuntad el número que os haya salido.
3. Resolviendo la siguiente resta: c + 10b + 100a - (a + 10b + 100c) = -99c + 99a = 99 (a - c) = múltiplo de 9.

Ejemplo:  

1.  Escojo los números a = 9, b = 6, c = 7.
2. Formamos el número 967 y le restamos su inverso (769). Por lo que, 967 - 769 = 198
3. Resolvemos 7 + 10·6 + 100·9 - (9 + 10·6 + 100·7) = 99 (9-7) = 198 que es múltiplo de 9.

Segundo juego matemático:

1. Escoger un número entre 55 y 99.
2.  Le sumamos 69.
3. Eliminamos la cifra de la centena en el resultado del paso 2 y sumamos dicha cifra a las unidades. Apuntad el resultado.
4.  Finalmente, le restamos a nuestro número al resultado del paso 3 y siempre vamos a obtener el número 30.

Ejemplo:

1. Elegimos al azar el número 77.
2.  77 + 69 = 146
3. Quitamos la cifra de las centenas (1) y se la sumamos a las unidades, de modo que 6 + 1 = 7 y mi número ahora es el 47.
4.  77 - 47 = 30

Tercer juego matemático:

1. Elegir un número de tres cifras, (no puede ser capicua, muy importante).
2. Le restamos a dicho número su inverso. Apuntamos el resultado.
3. Le sumamos al número resultante del paso 2 su inverso y siempre obtendremos el número 1089.

Ejemplo:

1. Elegimos el número 136.
2.  631 - 136 = 495
3.  594 + 495 = 1089

Cuarto juego matemático:

1. Escogemos dos números a y b cualesquiera.
2. Sumamos ambos números de forma consecutiva hasta un máximo de 10 veces. Así tedríamos la sucesión numérica: a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3a + 5b, 5a + 8b, 8a + 13b, 13a + 21b, 21a + 34b.
3. Sumamos todos los números de la sucesión y obtenemos 55a + 88b = 11 (5a + 8b) que casualmente, es el séptimo término de la sucesión multiplicado por 11. 

Esta sucesión se conoce por el nombre de la sucesión de Fibonacci, que debe su nombre al matemático italiano Leonardo de Pisa.

Ejemplo:

1. Escogemos el 3 y el 7.
2. Realizamos las sumas: 3 + 7 = 10, 7 + 10 = 17, 10 + 17 = 27, 17 + 27 = 44, 27 + 44 = 71, 44 + 71 = 115, 71 + 115 = 186, 115 + 186 = 301
3. 3 + 7 + 10 + 17 + 27 + 44 + 71 + 115 + 186 + 301 = 781 = 11· 71

¿Qué os han parecido? Probad en casa o en el instituto y veréis los resultados, veréis que divertido e ingenioso. ¿Conocéis otros juegos o curiosidades matemáticas? No dudéis en escribirlo en los comentarios, os animamos a ello.

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Piedra, papel o Tijera, pim pom fuera!!

En clase, hemos estado practicando el famoso y popular juego conocido como Piedra, Papel o Tijera. Dicho juego tiene sus origenes en la Antigua China, y en sus alrededores.

Posteriormente, nos hemos echado unas risas viendo un episodio de la serie The Big Bang Theory, en el que Sheldon Cooper propone a sus amigos una versión mejorada del famoso juego popular, el Piedra, Papel, Tijera, Lagarto, Spock.

Seguro que si sois amantes de la serie, o habéis visto el capítulo os sonará. Cada vez que lo veo, me río muchísimo, jajajaja. Animaos a compartir otros videos divertidos donde aparezcan juegos parecidos a éste.


Valoración personal:

Desde mi punto de vista, enseñar a los alumnos la relación existente entre el popular juego de piedra, papel o tijera y las matemáticas puede llegar a ser una clase muy fructífera y divertida. Los alumnos practican de una manera interactiva el juego y les enseñamos mediante una sencilla aplicación con el programa excel algunos ejemplos para motivarles.

Creo que perfectamente se podría incluir como una actividad innovadora en una jornada de la semana cultural en los institutos, estoy seguro de que los alumnos colaborarían y se acercarían al lugar de la actividad con mucho más entusiasmo que si de una clase meramente de cálculos matemáticos se tratase.

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Y si jugamos un rato, !Kahoot!

¿Habéis oído hablar alguna vez de la aplicación Kahoot? 

Es una aplicación para móviles disponible en las plataformas de descarga de todos los smartphones actuales, y la podéis encontrar tanto en Android como en IOS. Para no haceros tan pesada la explicación de como funciona, el siguiente vídeo interactivo os muestra como funciona:

Desde este Blog os animamos a probarla, para que paséis un rato divertido con vuestros amigos, como estamos haciendo nosotros ahora :). Por supuesto podéis encontrar todo tipo de temática, aunque claro está, os recomendamos las mates para jugar.

Enlace a la app

Ejemplo Kahoot Matemáticas

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Geometría en la ciudad

¿Sabéis que las matemáticas guardan una estrecha y profunda con otras áreas científicas como pueden ser la Arquitectura o el Arte? Desde la Antigua Grecia en numerosas ciudades se diseñaban y disponían las calles utilizando herramientas matemáticas. Los siguientes ejemplos muestran la relación entre algunos conceptos matemáticos y el diseño de las calles de las ciudades.

Palmanova, municipio de la provincia de Udine, situado en Italia, cuya disposición circular (recuerda al concepto de circunferencias concéntricas).

Palmanova (Italia)

Algunas poblaciones cercanas al Camino de Santiago, la ciudad de Madrid, así como la ciudad de Volvogrado, perteneciente a la Federación Rusa, poseen una estructura tipo lineal, es decir, se dispone una calle o vía principal y se distribuyen casas a ambos lados, a fin de que la distancia entre cada edificio sea mínima, y facilitar el transporte y el contacto con el medio natural. 

Madrid (España)

Añadir en los comentarios otro tipo de relación entre las matemáticas y otras ramas. Estamos deseando ver otro tipo de propuestas.

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Frases para la historia

A lo largo de la historia, se han pronunciado grandes frases que guardan una profunda relación con las matemáticas. Aquí os contaremos algunas de ellas. De antemano deciros que podéis aportar y sugerir otras frases que conozcáis abajo en los comentarios.

Albert Einstein (1879 - 1955)

Karl Weierstrass (1815- 1897)

Isaac Newton (1642 - 1727)

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Marchando una de Acertijos

Para los más aventureros, proponemos la resolución de varios acertijos matemáticos. Esperamos que os sirvan de gran interés y utilidad. Poco a poco, iremos actualizando la entrada con la publicación de nuevos acertijos.

Primer acertijo:

Segundo acertijo:

¿Qué os han parecido? ¿Habéis conseguido descifrarlos? ¿Conocéis algún otro acertijo interesante? Si es así, no dudéis en compartirlo con nosotros y comentad todo lo que queráis. 

¿Habéis oído hablar del famoso acertijo de "Los puentes de Königsberg" resuelto por el gran matemático Leonard Euler?

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Para los más enigmáticos y misteriosos

 Hola a todos, en esta entrada vamos a ir añadiendo una serie de enigmas matemáticos que esperemos os motiven a descubrir y tratar de resolver, y de paso nos echemos unas risas.

Luis y Pedro:

Luis y Pedro eran dos amigos que hacía tiempo que no se veían. Un día, Luis preguntó a Pedro cuántos libros tenía. Pedro, que era muy enigmático y misterioso, le respondió:

No lo sé con exactitud, si los clasifico en grupos de 2, 3, 4, 5 o 6 libros, siempre me sobra 1 libro. En cambio si los clasifico en grupos de 7 libros, no me sobra ninguno. Tras esta respuesta, Luis adivinó el número de libros que tiene Pedro, ¿Cómo lo logró?

Encuesta y edades:

Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer: ¿Número de hijos?, 3 contesta la mujer. ¿Cuántos años tienen?, el producto de sus edades es 36 y la suma de las mismas es igual al número de la casa, responde la mujer. El encuestador se va pero al rato vuelve y le dice a la mujer que le falta un dato. Ella le da la razón y le da otro dato extra, la mayor estudia piano. El encuestador ya tiene los datos suficientes para resolver el problema. ¿Cuál es la solución?

Dejad por aquí vuestros comentarios, soluciones y sugerencias para debatirlas.

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Un chiste o un rap, ¿Qué prefieres?

¿Os gustan los chistes matemáticos?, os presentamos un clásico en el mundillo de los chistes matemáticos. Podéis partiros de la risa, o tal vez no, jajaja.

Para los amantes del cálculo, os presentamos un curioso y divertido rap matemático, espero que os haga reír como me ha pasado a mí, y ya de paso os sirva para desconectar un poco de las responsabilidades del día a día.

Os animo a comentar todo lo que queráis, y aportad si conocéis canciones o chistes relacionados con las mates, que por supuesto, nos hagan reír a todos.

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La Habitación de Fermat

Durante la tarde del día de ayer estuvimos viendo la película titulada "La Habitación de Fermat", la cual recomiendo encarecidamente.

En cuanto a la trama de la película, se nos presentan una serie de enigmas que van resolviendo los matemáticos que se reúnen en la habitación, a fin de que ésta no se cierre. Los personajes que podemos ver a lo largo de la película, son muy variados entre sí. 

Como curiosidad, podemos ver como Hilbert es tan maniático y meticuloso, además de observador. Galois es un farsante en toda la regla, un guaperas y un chulo. Pascal era muy aplicado, una especie de inventor, y en cuanto a Oliva, era reservada y un tanto misteriosa.

Personalmente, la película me ha gustado muchísimo, y sirve para observar la aplicación de las matemáticas para resolver problemas en la vida real, aunque he de decir que hay momentos de suspense en los que me puse tenso.

Y ahora os preguntamos, ¿Conocéis la famosa conjetura de Goldbach que aparece al principo de la película? ¿Qué otras películas relacionadas con las matemáticas habéis visto?, dejad vuestros comentarios, opiniones, sugerencias, en fin, lo que queráis.

Enlace de la película

Valoración personal:

En mi opinión, la película es un claro ejemplo práctico a la explicación de para qué nos sirven las matemáticas hoy en día. Sin duda, la pondría un día en clase para que los alumnos la vieran y captar así un mayor interés y hacerles ver que el aprendizaje de las matemáticas es vital para su formación y posterior incorporación a la sociedad como trabajadores.

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